\subsection{Le pendule simple}
Le problème du pendule simple est un des problèmes de la physique qui ne peut être résolu de manière directe. En effet, si on applique le principe fondamental de la dynamique à la masse $m$ suspendue, on obtient l'équation différentielle suivante:
$$\boxed{\ddot{\theta}=\frac{g}{l}\sin(\theta)}$$

Si, dans le cadre de petites oscillations, c'est à dire en considérant $\sin(\theta)\thicksim\theta$, on peut résoudre l'équation différentielle, dans le cas général c'est impossible. C'est pourquoi il est nécessaire d'utiliser des méthodes de calcul numérique pour obtenir des résultats probants.\\

Pour pouvoir utiliser l'une des méthodes décrites précédemment, il est nécessaire d'obtenir une équation du type $y'(t)=f(t,y(t))$. Pour cela nous allons considérer le vecteur
$Y(t)=\left(\begin{array}{c}
\theta\\
\dot{\theta}
\end{array}
\right)
$. On a alors:
$$Y'=\left(\begin{array}{c}
\dot{\theta}\\
\ddot{\theta}
\end{array}
\right)=\left(\begin{array}{c}
\dot{\theta}\\
\frac{g}{l}\sin(\theta)
\end{array}
\right)=f(Y)$$

\begin{wrapfigure}[10]{l}{8cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{./pendulum1.png}
\caption{Résolution de l'équation différentielle}
\end{wrapfigure}
On remarque qu'on a alors accès à la fois aux variations de l'angle $\theta$ mais aussi à celles de la vitesse angulaire $\dot{\theta}$. En appliquant la méthode de \bsc{Runge-Kutta}, on obtient les graphes de la Figure 8 pour un angle initial $\theta_0=\frac{\pi}{2}$.\\

On peut s'assurer de l'exactitude des résultats en remarquant que l'angle $\theta$ varie bien entre $-\theta_0$ et $\theta_0$ en l'absence d'amortissement. De plus la vitesse angulaire correspond bien à la dérivée de l'angle $\theta$.

\begin{wrapfigure}[12]{r}{10cm}
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\includegraphics[scale=0.355]{./frequ_pendulum.png}
\caption{Variation de la fréquence en fonction de l'angle initial}
\end{wrapfigure}
 
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 Une autre manière de le montrer consiste à tracer la variation de la fréquence selon l'angle initial $\theta_0$.
On remarque que, dans le cas des petits angles, la valeur de la fréquence vaut environ $0.5$. Or si on résout l'équation différentielle avec l'équivalence décrite précédemment, on aboutit à une fréquence de $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{\sqrt{10}}{2\pi}=0,503$. Ce résultat étaye l'exactitude de nos résultats.
\subsection{Le pendule double}

Le pendule double est un système ressemblant au pendule simple, cependant celui introduit la variation d'un nouvel angle. Ceci modifie aussi bien l'équation différentielle, qui devient beaucoup plus complexe, que les résultats obtenus en sortie. Nous allons en effet montrer que ce système possède un comportement chaotique.

\begin{wrapfigure}[14]{l}{17cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{./pendulum2.png}~~~~~~\includegraphics[scale=0.355]{./pend_cond_ini.png}
\caption{Résolution de l'équation différentielle pour différentes conditions initiales}
\end{wrapfigure}
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Par exemple, si on prend $\theta_1=\frac{\pi}{5}$ et $\theta_2=\frac{2\pi}{3}$, on peut tracer la Figure 10. Celle-ci, contrairement au pendule simple, ne présente pas de période. En effet les extrema atteints par les courbes sont tous différents. On ne peut donc pas prévoir l'évolution d'un tel système.\\

Une autre manière de visualiser le comportement chaotique du système consiste à tracer la trajectoire de l'extrémité du pendule sur un intervalle de temps donné pour deux situations initiales très proches. On remarque alors que les trajectoires obtenues sont très différentes malgré la faible modification.
\begin{wrapfigure}[16]{l}{7cm}
\centering
\vspace{4mm}
\includegraphics[scale=0.4]{./time_pendulum.png}
\caption{Temps du premier retournement}
\end{wrapfigure}

Enfin un autre critère pour justifier le caractère chaotique du système consiste à représenter le temps de premier retournement du pendule en fonction des angles initiaux $\theta_1$ et $\theta_2$. C'est à dire à déterminer le moment où $\theta_1$ ou $\theta_2$ atteint $\pi$ ou $-\pi$ suivant le signe de la dérivée.\\


On remarque que l'image présente un centre de symétrie placé au centre du repère. Cette symétrie est logique compte tenu de l'utilisation de fonctions trigonométriques paires et impaires. Les zones présentant un temps nul correspondent en fait à des cas où le pendule ne s'est pas retourné dans l'intervalle de temps considéré c'est à dire dix secondes. Plus cet intervalle est important, plus les résultats obtenus seront précis. Cependant les temps de calculs le seront aussi.







